Логическое проектирование и минимизация
1. Обзор методов логического проектирования и минимизации
Термин “логическое проектирование” охватывает целый комплекс проблем, возникающих на одной из ранних стадий создания цифрового автомата. Одним из этапов логического проектирования является синтез его так называемых комбинационных устройств, который заключается в определении таких способов соединения некоторых простейших схем, называемых логическими элементами, при которых построенное устройство реализует поставленную задачу по преобразованию входной двоичной информации. В частности логическими элементами являются инвертор, конъюнктор и дизъюнктор. Поскольку эти элементы образуют функционально полный набор, то с их помощью можно построить комбинационное устройство (то есть устройство не обладающее памятью, в котором выходной сигнал в любой момент времени определяется только комбинацией входных сигналов), реализующее любой наперёд заданный закон преобразования двоичной информации .
Обычно логическое проектирование выполняется в следующей последовательности:
1) составление таблицы истинности синтезируемого узла согласно его определению, назначению и (словесному) описанию принципа работы ;
2) составление математической формулы для логической функции, описывающей работу синтезирующего узла, согласно имеющейся таблице истинности ;
3) анализ полученной функции с целью построения различных вариантов её математического выражения (на основании законов булевой алгебры) и нахождения наилучшего из них в соответствии с тем или иным критерием ;
4) составление функциональной (логической) схемы узла из заранее заданного набора логических элементов .
1.1 Нормальные формы логических функций
Синтез комбинационных устройств обычно начинается с табулирования значений истинности всех входных и выходных величин. Табличное задание закона функционирования некоторого устройства является наиболее наглядным и универсальным средством описания его работы. Результатом рассматриваемого этапа является таблица истинности, связывающая все возможные комбинации значений аргументов и функций. Пусть, например, требуется синтезировать цифровое устройство, реализующее сложение двух двоичных цифр (полусумматор) .
1-й этап синтеза - даётся словесное описание полусумматора и принципа его работы. Он должен анализировать все комбинации входных сигналов (т. е. двоичных цифр 00, 01, 10, 11) и в соответствии с ними формировать на выходе двухразрядные суммы. В первом разряде результата формируется цифра переноса, а во втором - цифра многоразрядной суммы. Следовательно, синтезируемый полусумматор должен иметь два входа (n=2) и два выхода. Далее от нестрогого словесного описания переходим к строгому формальному описанию работы полусумматора на табличном языке. Таблица истинности (см. табл. 1.1) в общем случае при n входах имеет 2 в степени n комбинаций значений аргументов .
Таблица 1.1
Таблица истинности полусумматора.
|
1-я цифра слагаемое Х1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
2-я цифра слагаемое Х2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
Цифра переноса р |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Цифра суммы s |
0 |
1 |
1 |
0 |
2-й этап синтеза
- для того чтобы показать методику перехода от таблицы истинности к аналитическому выражению, рассмотрим некоторую обобщённую таблицу истинности двух аргументов f(X1,X2) (см. табл. 1.2). Ограничение на число аргументов не является в данном случае существенным, но значительно упрощает все рассуждения .Таблица 1.2
Обобщённая таблица истинности функции двух аргументов.
|
1-й логический аргумент Х1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
2-й логический аргумент Х2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
Логическая функция f(X1,X2) |
f0 |
f1 |
f2 |
f3 |
Здесь f0=f(0,0); f1=(0,1); f2=(1,0); f3=(1,1) - конкретные реализации функции f(X1,X2) при определённых частных значениях аргументов X1 и X2. Они также являются двоичными переменными. Десятичные индексы при их символах числено равны тем двоичным числам, которые образуются соответствующими частными значениями аргументов. Кроме того, каждый десятичный индекс можно трактовать как номер некоторого столбца в Таблице 1.2, изменяющийся в пределах от 0 до 2n -1, так как обычно значения аргументов в таблице записываются таким образом, чтобы получающееся из них по вертикали двоичное число было равно номеру столбца. Исходя из вышеизложенного, уже можно перейти от табличной записи логической функции f(X1,X2) к аналитической :
f(X1,X2) = f0 при, х1=0, х2=0 ;
f1 при, х1=0, х2=1 ; (1.1)
f2 при, х1=1, х2=0 ;
f3 при, х1=1, х2=1 ;
Такая запись несколько удобнее и компактнее таблицы, однако она всё-таки громоздка и плохо обозрима (особенно в случае большого числа аргументов). Но от неё можно перейти к записи другого вида, более удобной и компактной :
f(x1,x2)= x1x2f0+ x1x2f1+ x1x2f2+ x1x2f3 (1.2)
Правило построения каждого члена в этом предложении несложно; производится логическое умножение элементов каждого столбца табл.1.2, причём вместо 1 берётся символ соответствующего аргумента, а вместо 0 - его отрицание. Равносильность соотношений (1.1) и (1.2) простой подстановкой в выражение (1.2) всех возможных комбинаций значений аргумента xi .
Обобщив вышеизложенное можно сформулировать правило получения аналитической записи логической функции для некоторого комбинационного узла :
- для того чтобы получить аналитическое выражение функции, заданной таблично, нужно составить сумму конституент(см. ниже) единицы для тех наборов значений входных двоичных переменных, для которых реализации функции fi равны 1, причём символ любой переменной в некоторой конституенте берётся со знаком отрицания, если конкретное значение переменной xi в рассматриваемом наборе имеет значение 0 .
Поскольку логическая сумма всех элементарных произведений наивысшего ранга n обязательно равна 1, какой бы набор значений входных переменных ни рассматривался, то эти произведения вполне логично называть конституентами (составляющими) единицы. Аналогично объясняется и название конституенты (составляющей) нуля, так как известно, что логическое произведение всех элементарных сумм наивысшего ранга тождественно равно нулю .
Все функции, полученные в соответствии с вышеизложенным правилом получения аналитической записи логической функции для некоторого комбинационного узла, независимо от числа аргументов имеют много общего в своей структуре. Таким образом это правило определяет канонический вид любой логической функции. В этом случае говорят, что функция задана (записана) в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ). Нормальной эта форма называется потому, что члены функции в данном случае имеют вид элементарных конъюнкций. Вследствие того что все члены соединены в одну функцию знаком дизъюнкции, форма носит название дизъюнктивной. И, наконец, форма называется совершенной, так как все её члены имеют высший ранг, являясь конституентами единицы .
Поскольку алгебра логики симметрична, то вышеприведённые рассуждения можно применить для вывода ещё одной канонической формы логических функций - совокупности конституент нуля, соединённых знаком конъюнкции. Таким образом сформулируем второе правило :
- для того чтобы получить аналитическое выражение функции, заданной таблично, в совершенной конъюктивной нормальной форме, нужно составить логическое произведение конституент нуля для тех наборов значений, входных двоичных переменных, для которых реализация функции fi равна 0, причём символ любой переменной в некоторой конституенте берётся со знаком отрицания, если её конкретное значение xi в рассматриваемом наборе равно 1 .
В общем случае переход к совершенной нормальной форме производится за три шага .
1-й шаг - с помощью многократного применения законов инверсии снимаются общие и групповые отрицания так, чтобы отрицания оставались только у одиночных переменных .
2-й шаг - с помощью распределительных законов производится переход к одной из нормальных форм функции.
3-й шаг - производится преобразование членов ДНФ или КНФ в соответствующие конституенты с помощью правила развёртывания .
Пользуясь сформулированными правилами и таблицей 1.1 для полусумматора записываем :
p(x1,x2) = x1x2
s(x1,x2)= x1x2 +x1x2 СДНФ (1.3)
p(x1,x2) = (x1+ x2) (x1 +x2) (x1+x2)
s(x1,x2) = (x1+ x2) (x1 +x2) СКНФ (1.4)
3-й этап синтеза - анализ и оптимизация (минимизация) логических функций являются весьма важными компонентами синтеза цифровых автоматов без памяти. Поэтому методы анализа и оптимизации будут рассмотрены отдельно .
4-й этап синтеза - к построению функциональной схемы синтезируемого узла в принципе можно переходить сразу же, как только становится известным аналитическое описание его работы. Построение схемы основано на прямом замещении элементарных произведений, сумм и отрицаний соответственно конъюнкторами, дизъюнкторами и инверторами. Пользуясь соотношениями (1.3), (1.4) можем построить для полусумматора две функциональные схемы.
а) СДНФ
б) СКНФ
Рис. 1.1 Функциональная схема полусумматора .
С функциональной точки зрения обе схемы полностью тождественны, хотя по структурной сложности они значительно различаются .
1.2. Общие сведения о минимизации логических функций
Однозначность соответствия формы логической функции и параметров реальной электронной схемы приводит к необходимости оптимизации функции, т.е. к необходимости получения наилучшего её вида по выбранному критерию. В общем случае речь должна идти об оптимизации функции по таким показателям, как быстродействие, надежность (достижение их максимума), количество потребного оборудования, вес, габариты, энергопотребление, стоимость (достижение их минимума) и т.п. Однако решение этой задачи в общем виде- достаточно трудное дело, тем более что некоторые из указанных показателей находятся в известном противоречии. Например, увеличение быстродействия, как правило, достигается за счет параллельной организации работы данного устройства, но это ведёт к увеличению оборудования, а значит, к уменьшению надежности и увеличению стоимости. Поэтому на практике обычно решается частная задача оптимизации по одному из критериев. Чаще всего это делается по минимуму потребного оборудования, так как при этом автоматически решаются задачи получения минимальных габаритов, веса, энергопотребления, стоимости. Такая частная задача оптимизации логической функции носит название минимизации.
Таким образом, возникает задача нахождения из всех возможных форм логической функции её так называемой минимальной формы, обеспечивающей минимум затрат оборудования при построении синтезируемого узла, если имеется заданный набор логических элементов (НЕ, И, ИЛИ) с определенными техническими характеристиками (например, максимально возможное число входов у элементов И, ИЛИ и др.). Нетрудно заметить, что в рамках нормальных форм минимальной будет такая разновидность функции, которая состоит из наименьшего количества членов при наименьшем, по возможности, общем числе символов переменных.
Из большего числа различных приемов и методов минимизации рассмотрим три наиболее показательных, типовых:
расчетный метод ( метод непосредственных преобразований);
2 расчётно-табличный метод (метод Квайна-Мак-Класки);
табличный метод (метод Вейча-Карно).
Исходной формой для любого из этих методов является одна из совершенных форм-СДНФ или СКНФ. Это обстоятельство практически не накладывает особых ограничений, поскольку переход от произвольной формы функции к её совершенным формам, как это было показано выше, не представляет принципиальных трудностей. В общем случае при любом из вышеупомянутых методов минимизация производится в три этапа.
1-й этап- переход от совершенной Д(К)НФ к сокращенной Д(К)НФ путем производства всех возможных склеиваний друг с другом конституент, а затем всех производны членов более низкого ранга. Таким образом, под сокращенной формой будем понимать дизъюнктивную (или конъюнктивную) форму функции, членами которой служат только изолированные (несклеивающиеся) элементарные конъюнкции (или дизъюнкции). Члены сокращенной Д(К)НФ в алгебре логики носят название простых импликант (имплицент). Не исключен случай, когда СД(К)НФ тождественно равна сокращенной форме рассматриваемой функции.
2-й этап- переход от сокращенной нормальной к тупиковой нормальной форме. Тупиковой будем называть такую нормальную дизъюнктивную (конъюнктивную) форму функции, членами которой являются простые импликанты (имплиценты), среди которых нет ни одной лишней. Термин “лишний” здесь имеет прямое значение. Лишним будем называть такой член функции, удаление которого не влияет на значение истинности этой функции. Возможны случаи, когда в сокращенной форме не оказывается лишних членов. Тогда сокращенная Д(К)НФ тождественно равна тупиковой форме. Не исключены случаи появления нескольких тупиковых форм из одной сокращенной. Название “тупиковая форма” показывает, что дальнейшая минимизация в рамках нормальных форм уже невозможна.
3-й этап - переход от тупиковой (минимальной среди нормальных форм) формы функции к её минимальной форме. Этот этап, называемый обычно факторизацией, уже не является регулярным, как два предыдущих, и требует определенной сноровки, интуиции и опыта. Здесь подразумевается поиск возможностей упрощения функции методом проб и испытаний. Для уменьшения числа операций отрицания следует применять законы инверсии, а для уменьшения числа конъюнкций и дизъюнкций - распределительные законы. На этом же этапе решается и вторая задача- приведение логических функций к виду, удобному для применения реальных логических элементов, которые на практике имеют определенные ограничения по количеству входов и по величине допустимой нагрузки. Различные методы минимизации отличаются друг от друга путями и средствами практической реализации того или иного этапа. При минимизации сложных функций чаще всего ограничиваются двумя первыми этапами, т.е. получением самой простой среди тупиковых ДНФ (КНФ). Рассмотрим каждый из вышеназванных методов.
1.3. Расчетный метод минимизации
Пусть задана некоторая функция в СДНФ, которую требуется минимизировать:
fсднф = x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 ( 1.5)
1-й этап - производим все возможные склеивания членов заданной функции. В общем случае эта процедура осуществляется за несколько шагов, в результате каждого из которых происходит понижение ранга склеиваемых членов на единицу. На первом шаге склеиваются конституенты:
fпр = x1 x3 + x2 x3 + x1x2 (1.6)
Затем производится второй шаг испытания на склеивание всех членов функции в промежуточной форме. Рассматривая соотношение (1.6), убеждаемся, что все его члены изолированы. Следовательно, полученная промежуточная форма является сокращенной ДНФ исходной функции (сДНФ). Отметим, что все конституенты функции (1.5) участвовали хотя бы в одном склеивании, поэтому ни в сокращенной, ни тем более в тупиковой форме членов максимального ранга не будет:
fсднф = x1x3 + x2x3 + x1x2 (1.7)
2-й этап - осуществляется проверка каждой простой импликанты в сДНФ с целью выявления и удаления лишних членов. Проверка состоит в следующим. На значение истинности функции влияет только та импликанта, которая сама равна 1. любая импликанта становится равной 1 лишь на одном, вполне определенном наборе значений истинности своих аргументов. Но если именно на этом наборе суммы остальных членов тоже обращается в 1, то рассматриваемая импликанта не влияет на значение истинности функции даже в этом единственном случае, т.е. является лишней. Применим это правило к проверке членов функции в сДНФ (1.7):
1) x1x3 = 1 при x1 = 0, x3 = 1; сумма остальных членов на этом же наборе равна x21 + 1x2 = 1; следовательно, проверяемый член - лишний;
2) x2x3 = 1 при x2 = 0, x3 = 1; сумма остальных членов на этом же наборе равна x11 + x10 = x1 ; следовательно, проверяемый член не является лишним;
3) x1x2 = 1 при x1 = 0, x2 = 1; сумма остальных членов на этом же наборе равна 1x3 + 0x3 = x3 ; следовательно, проверяемый член не является лишним.
Таким образом, отбросив лишний член, получим тупиковую дизъюнктивную нормальную форму (ТДНФ) исходной функции:
fтднф = x1x2 + x2x3 (1.8)
Более подробно остановимся на случае, когда лишних членов оказывается больше, например два. Это не означает, что оба лишних члена можно отбросить, так как каждый из них проверялся при вхождении другого в оставшуюся сумму. Следовательно, отбросить наверняка можно только один из них, а затем нужно снова произвести проверку возможности отбросить и второй член.
Следует также остановится подробнее и на случае, когда исходной формой является СКНФ. Методика проведения первого этапа при этом практически не изменяется, но реализация второго этапа имеет свою специфику. На значение истинности функции в конъюнктивной нормальной форме влияет только та имплицента, которая сама равна 0. Но любая имплицента становится нулем только при одном наборе своих аргументов. Следовательно, правило проверки сокращенной КНФ на лишние члены нужно сформулировать таким образом: для каждого члена сокращенной КНФ находится такой набор значений истинности его переменных, который обращает данный член в 0. Далее определяется значение истинности произведения остальных членов на этом же наборе. Если произведение также равно 0, то проверяемый член - лишний.
3-й этап - упрощаем ТДНФ или ТКНФ функции. Применив закон инверсии к первому члену функции в ТКНФ, получим минимальную форму (МФ):
fмф = x1x2(x2 + x3)
для аппаратурной реализации которой нужной всего семь условий транзисторов. Интересно, что преобразование в минимальную форму ТДНФ функции получается более сложным путем:
fтднф = x1x2 + x2x3 = (x1 + x2)(x2 + x2)(x1 + x3)(x2 + x3) = (x1 + x2)(x1 + +x3)(x2 + x3) = fскнф
Переход от сКНФ к МФ нетрудно осуществить через ТКНФ, как это было сделано выше.
1.4. Расчётно-табличный метод минимизации
Минимизация этим способом отличается от расчётной минимизации только методикой выявления лишних членов в сокращённой Д(К)НФ. Данный метод предложен американским ученым У.Квайном. Первый и третий этапы минимизации в этом случае будут идентичны соответствующим этапам при расчетном методе. Нахождение тупиковой формы (второй этап) производится с помощью специальной таблицы (отсюда название метода), значительно упрощающей обнаружение лишних членов. рассмотрим методику расчетно-табличной минимизации на том же примере, который разбирался нами при расчетном способе, что дает возможность более четко показать как общие черты обоих методов, так и их различия.
Итак, пусть требуется минимизировать функцию (1.5), заданную в СДНФ:
fсднф = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3
1-й этап - не отличается по содержанию от 1-го этапа при расчетном методе. Поэтому сразу же запишем исходную функцию в сДНФ:
fcднф = x1x3 + x2x3 + x1x2
2-й этап - для выявления возможных лишних членов в сД(К)НФ функции построим таблицу, входными величинами в которой будут конституенты - члены СД(К)НФ и импликанты (имплиценты) - члены сокращенной Д(К)НФ. Поэтому чаще всего такую таблицу называют конституентно-импликантной (имплицентной) матрицей; применяются также названия: таблица Квайна и таблица покрытий. Она имеет число строк, равное количеству импликант (имплицент) в сокращенной Д(К)НФ. Строки делятся на столбцы, число которых берется равным количеству конституент в СД(К)НФ. Поэтому в горизонтальные (строчные) входы таблицы записываются все простые импликанты(имплиценты), а в вертикальные входы - все члены совершенной нормальной формы (см. табл. 1.3).
Таблица 1.3
Таблица Квайна.
|
Импли- |
Конституенты |
|||
|
канты |
x1x2x3 |
x1x2x3 |
x1x2x3 |
x1x2x3 |
|
x1x3 |
X |
X |
||
|
x2x3 |
X |
X |
||
|
x1x2 |
X |
X |
||
Процесс минимизации начинается с последовательного составления каждой импликанты со всеми конституентами. Если какая-либо импликанта является собственной частью некоторой конституенты, то в табличной клетке, соответствующей обоим членам, проставляется любой условный значок (так, в табл.1.3 клетка перечеркивается крест-накрест). Таким образом, значки в каждой строке заполненной таблицы показывают, какие члены совершенной формы функции появятся при развертывании данной импликанты в семейство конституент. В идеальном случае каждая импликанта развертывалась бы только в “свои” конституенты, и в каждом столбце тогда находился бы только один условный значок. Практически этого не происходит, и очень часто одна и та же конституента покрывается в таблице несколькими импликантами. Задача состоит в том, чтобы вычеркиванием некоторых (лишних!) импликантов попытаться оставить в каждой колонке только значок или по крайней мере минимальное число импликант, покрывающих все конституенты. Практически обычно по таблице вначале находится так называемое ядро функции, состоящее из трех импликант (имплицент), каждая из которых осуществляет единственное покрытие некоторой конституенты и поэтому никоим образом не может оказаться в числе лишних.
Возвращаясь к рассматриваемому примеру (см.табл.1.3), констатирует. что в ядро функции входят импликанты x1x2 и x2x3. Следовательно, остается только проверить возможность вычеркивания импликанты x1x3. Ее вычеркивание не нарушает условия о наличии хотя бы одного покрытия каждой конституенты любой импликантой. Следовательно, импликанта x1x3 является лишней. Тупиковая дизъюнктивная нормальная форма исходной функции
fтднф = x1x2 + x2x3 (1.8*)
Сравнение показывает идентичность соотношений (1.8) и (1.8*), что и должно было получиться.
3-й этап - по своему содержанию не отличается от соответствующего этапа при расчетном методе, поэтому сразу запишем минимальную форму исходной функции:
fмф = x1x2(x2+x3)
1.5. Табличный метод минимизации
При относительно небольшом числе переменных (R<=6) весьма удобным и наглядным является графическое представление логических функций в виде так называемых карт минтермов. Наиболее распространенной их формой являются карты Карно. На рис.1.2 показаны карты Карно для функций R=2, 3, 4 и 5.
Рис.1.2 Карты Карно и расположение в них минтермов для функций двух (а), трёх (б), четырёх (в) и пяти (г) переменных.
Карта Карно содержит q=2R клеток, причем каждой клетке соответствует один из q минтермов. Для иллюстрации этого на рис. 1.2 (a-в) в клетках карт Карно записаны соответствующие им минтермы. Если требуется представить на карте Карно логическую функцию, заданную в виде СДНФ, то в клетках карты, соответствующих минтермам, входящим в СДНФ, ставятся 1. Остальные клетки остаются незаполненными или заполняются 0. Примеры графического представления функций, заданных в виде СДНФ, показаны на рис.1.3(a-в).
Рис.1.3 Примеры графического представления логических функций с помощью карт Карно: а) F=AB+AB; б) F=ABC+ABC+ABC+ABC; в) F=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.
Каждой клетке карты поставлен также в соответствии один из наборов логических переменных, который определяется номером столбца и строки, на пересечении которых расположена клетка. Например на рис.1.3(в) на пересечении столбца с номером АВ=01 и строки с номером CD=10 расположена клетка, соответствующая набору переменных ABCD = 0110 (минтерм ABCD). Благодаря этому удобно представлять на карте Карно функции, заданные таблицами истинности. Если при i-м наборе переменных значение функции в таблице истинности F=fi=1, то в соответствующей клетке карты Карно ставится 1 (т.е. соответствующий минтерм mi входит в СДНФ функции). Если же F=fi=0, то клетка оставляется пустой либо ставится 0 (т.е. соответствующий минтерм не входит в СДНФ функции). Таким образом, между представлением функции в табличной (таблица истинности), алгебраической (в виде сДНФ) и графической (на карте Карно) формах имеется однозначное соответствие.
Логическая функция F на карте Карно представляется совокупностью клеток, заполненных 1, инверсия функции F представляется совокупностью пустых клеток (или заполненных 0). На рис.1.3(a) дано представление в виде карты Карно функции Исключающее ИЛИ F6 в соответствии с её таблицей истинности. Её инверсия F6=F9=AB+AB представляется на этой карте совокупностью пустых клеток.
Для логических функций с числом переменных R>6 карты Карно становятся громоздкими (число клеток q>64) и не удобными для практического применения. Поэтому использование карты Карно можно рекомендовать при числе переменных * R<=6.
Рассмотренные выше логические функции были определены, т.е. имели определённое значение fi=0 или fi=1, при всех возможных наборах логических переменных. Такие логические функции называются полностью определёнными.
Кроме них имеется большой класс функций, значение которых определено только для части логических наборов переменных. Такие функции называются частично определенными. Наборы переменных, для которых функция определена, называются рабочими, а для которых не определена - безразличными. Значения функции, соответствующие безразличным наборам, будем обозначать в таблицах истинности и на картах Карно знаком “Х”. На практике безразличными являются такие наборы значений логических переменных, которые при работе данного конкретного цифрового устройства никогда не реализуются. Частично определённую функцию можно сделать полностью определенной (доопределить), приписав безразличным наборам какие-либо значения функции: fi=0 или 1. Обычно доопределение функции проводится таким образом, чтобы упростить её алгебраическое выражение и практическую реализацию.
Логическую функцию большого числа переменных можно представить в виде композиции функций меньшего числа переменных
F(A,B,C,..., N) = AF0(O,B,C,..., N) + AF1(1,B,C,..., N)
где А - выделяемая переменная, функции F0(0,B,C,..., N) и F1(1,B,C,..., N) получаются из функции F подстановкой значений А=0 и А=1. В качестве выделяемой может использоваться любая переменная. Например:
F = AB+ACD+DE = A(B+DE)+A(CD+DE) = AF1+AF0, F= AB+ACD+DE = D(AB+AC) + D(AB+E) = DF'1 + DF'0
Процесс выделения более простых составляющих функции называется декомпозицией. Полученные функции F0, F1 могут подвергаться дальнейшей декомпозиции. Таким образом, сложную логическую функцию можно выполнить, последовательно реализуя композицию более простых функций, полученных путем декомпозиции.
Список используемой литературы.
1.. Алексенко А.Г, Шагурин И.И. “Микросхемотехника.”
Москва, изд. “Радио и связь”, 1982г.
2. Влах, Кишор, Сингхал “Машинные методы анализа и
проектирования электронных схем.”
Москва, изд. “Радио и связь”, 1988г.
3. Дебновецкий С.В. “Основы автоматизированного проектирования
электронных приборов.”
Киев, Вища школа, 1987г.
4.“Измерения параметров цифровых интегральных микросхем.”
(под ред. Эйдукаса Д.Ю., Орлова Б.В.)
Москва, “Радио и связь”, 1982г.
5. Корнеев В.В., Киселёв А.В. “Современные микропроцессоры.”
Москва, изд. “Нолидж”, 1998г.
6. Лазер И.М., Шубарев В.А. “Устойчивость цифровых
микроэлектронных устройств.”
Москва, “Радио и связь”, 1983г.
7. Лысиков Б.Г. “Арифметические и логические основы цифровых
автоматов.”
Минск, “Вышэйшая школа”, 1980г.
8. Нефедов А.В., Савченко А.М., Феоктистов Ю.Ф.“Зарубежные
интегральные микросхемы для электронной аппаратуры.”
Москва, Энергоатомиздат, 1989г.
9. Ногов Ю.Р.“Математические модели элементов интегральной
электроники.”
Москва, “Современное радио”, 1976г.
10. Пухальский Г.И., Новосельцева Т.Я. “Цифровые устройства.”
Санкт-Петербург, изд. “Политехника”1996г.
11. Сысоев В.В.“Структурные и алгоритмические модели
автоматизированного проектирования производства изделий
электронной техники.”
Воронеж, Воронежский технологический институт, 1993г.
12. Токхейм Р.“Основы цифровой электроники”
Москва, изд. “Мир”, 1988г.
13. Чахмахсазян Е.А., Мозговой Г.П., “Математическое моделирование
и макромоделирование биполярных элементов электронных схем.”
Москва, “Радио и связь”, 1985г.
14. Шило В.Л. “Популярные цифровые микросхемы.”
Москва, Металлургия, 1988г.
15. Якимов О.П.“Моделирование режимов и оценка качества
электронных приборов.”
Москва, “Радио и связь”, 1989г.
16. Янсен Й. “Курс цифровой электроники.”
т. 1 Москва, Мир, 1987г.
Источник информации >>
Администратор Львовский М.Б.
