Информатика и информационные технологии

Авторы  сайта:  Смирнова Е.Ю., Одинцова Т.Е., учителя информатики школы №141 г.Красноярска

Тема: "Законы логики"

Законы логики отражают наиболее важные закономерно­сти логического мышления, В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют проводить эквивалентные преобразования логических выражений в соответствие с законами логики.

Закон тождества. Всякое высказывание тождественно са­мому себе: А = А

Закон непротиворечия. Высказывание не может быть од­новременно истинным и ложным. Если высказывание А — истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Сле­довательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно: A & ¬A = 0

Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Это означа­ет, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение истина: A v ¬A = 1

Закон двойного отрицания. Если дважды отрицать неко­торое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание: ¬ ¬A = A

Кроме логических законов, важное значение для выполнения преобразований логических выражений имеют правила алгебраических преобразований. Многие из них имеют аналоги в обычной алгебре.

 Законы Моргана: ¬(A v B)= ¬А & ¬В

                                ¬(A & B)= ¬А v  ¬В

Правило коммутативности. В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказыва­ний можно менять местами логические переменные при опе­рациях логического умножения и логического сложения:

Логическое умножение      Логическое сложение

A & B = B & A                          A v B = A v B

 

    Правило ассоциативности. Если в логическом выраже­нии используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пре­небрегать скобками или произвольно их расставлять:

Логическое умножение                Логическое сложение

(A & B) & C = A & (B & C)          (A v B) v C = A v (B v C)

   Правило дистрибутивности. В отличие от обычной алгеб­ры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые:

Дистрибутивность умножения          Дистрибутивность сложения

       относительно умножения                   относительно сложения

     (a x b) + (a x c) = a x (b + c)

(A  & B) v (A & C) = A & (B v C)                (A v B) & (A  v  C) = A v (B & C)

Рассмотрим в качестве примера применения законов ло­гики и правил алгебры логики преобразование логического выражения. Пусть нам необходимо упростить логическое выражение:

(А &. В) v (A  & ¬В).

Воспользуемся правилом дистрибутивности и вынесем за скобки  А:

                                   (А & В) v (А & ¬В) = А & (В v ¬В).

По закону исключенного третьего В v ¬В = 1, следователь­но:

                                       А & (В v ¬B) = А &. 1 = А.

 

Контрольные вопросы

1. Какие законы логики вы знаете?

2. Какие сущестнуют правила преобразования логических выра­жений?

Упражнения

1. Докажите справедливость 1-го закона Моргана ¬(А v В) =  ¬А & ¬В, используя таблицы истинности.

2. Докажите справедливость второго закона Моргана ¬(А & В) = ¬А v ¬В, используя таблицы истинности.

3. Упростите логические выражения с учетом правильной последовательности выполнения логических операций:

    (A v ¬A) & B

   A & (A v B) & (C v ¬B)

   A & ¬B v B & C v ¬A & ¬B

   A v ¬A & B

<< Возврат назад